3.4. Уравнения гиперболического типа
Теоретический минимум
Метод Даламбера. Одномерное волновое уравнение
22
2
22
uu
a
tx
, где
T
a
,
T
– натяжение (сила, действующая на струну перпендикулярно
оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины),
– линейная плотность
струны, описывает свободные колебания однородной струны. Это
уравнение гиперболического типа, оно имеет две действительные
характеристики:
12
,.x at C x at C
Функция
12
,u x t x at x at
является решением уравнения
22
2
22
uu
a
tx
,
если
1
и
2
– произвольные дважды дифференцируемые функции. Это
решение называется решением Даламбера.
В случае, когда струна бесконечна
,0xt
и заданы
начальные условия
0t
ux
(начальное положение),
0t
u
x
t
(начальная скорость), то искомое решение имеет вид (формула
Даламбера):
1
,.
22
x at
x at
x at x at
u x t d
a
(3.6)
Формула (3.6) выражает классическое решение одномерного
волнового уравнения в предположении, что
x
имеет непрерывные
производные до второго порядка включительно, а
x
– до первого.
Задача Коши поставлена корректно.
Метод Даламбера может быть использован и для решения задачи о
колебаниях струны, закрепленной на одном конце, т. е. для
0; ,xl
где
l
достаточно велико, а закрепленный конец струны находится в начале
координат. Такую струну называют полубесконечной. При решении задачи
о ее колебаниях, кроме начальных условий, нужно задавать условие на
закрепленном конце:
0, .u t t
Решение уравнения колебания струны, закрепленной на концах,
методом разделения переменных (методом Фурье). Метод разделения
переменных (метод Фурье) в тех случаях, когда применим, позволяет
расщепить ДУ с ЧП для функции
n
независимых переменных на
n
обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого искомую
функцию представляют в виде произведения. Рассмотрим суть данного
метода на конкретном примере.
Пусть струна длиной
l
расположена на участке
0 xl
и закреплена
на концах. Если в начальный момент времени
0t
струну вывести из
положения равновесия, она будет совершать свободные колебания,
которые описываются уравнением
22
2
22
uu
a
tx
. Поскольку концы струны
закреплены, то
0, 0, , 0u t u l t
– это граничные условия для данной
задачи. Начальные условия
,0
,0 ,
ux
u x x x
t
дают
положение точек струны, т. е. ее форму, и их скорости в момент времени
0.t
Пусть требуется найти решение уравнения
22
2
22
uu
a
tx
,
удовлетворяющее начальным и граничным условиям
,0
,0 , , 0, 0, , 0.
ux
u x x x u t u l t
t
Согласно методу Фурье, решение ищем в виде произведения функции
,Xx
зависящей только от
,x
и функции
Tt
, зависящей только от
,t
каждая из которых впоследствии оказывается решением обыкновенного
ДУ (см. с. 38 – 43). В результате представим решение в виде ряда
11
, , cos sin sin ,
k k k
kk
ak ak k
u x t u x t a t b t x
l l l
(3.7)
где
1
0
2
sin ,
k
k
a x xdx
ll
1
0
2
sin .
k
k
b x xdx
ak l
(3.8)
Решение
, cos sin sin sin sin
k k k k k
ak ak k ak k
u x t a t b t x A t x
l l l l l
называется собственным (здесь
22
,
k k k
a b A
22
sin ,
k
k
kk
a
ab
22
cos
k
k
kk
b
ab
).
Физический смысл собственного решения
,:
k
u x t
каждая
фиксированная точка струны
x
совершает гармонические колебания с
частотой
ak
l
и постоянной амплитудой
sin .
k
k
Ax
l
Другими словами,
решение описывает стоячую волну. Частоты различных возможных
колебаний кратны величине
,
aT
ll
которая определяется длиной
l
струны, натяжением
T
и плотностью
материала, из которого сделана
струна.
Практический минимум
4А1. Используя формулу Даламбера, найти форму бесконечной
струны, определяемой уравнением
22
22
uu
tx
при начальных условиях
, 0 sin ,u x x
, 0 cos
u
xx
t
в момент времени
2
.
Исходя из условий задачи
sin ,xx
cos ,xx
найдем форму
струны в момент времени
:t
sin sin
11
, cos sin cos sin
2 2 2
xt
xt
xt
xt
x t x t
u x t d x t
sin cos sin cos sin .x t t x x t
Полагая
2
t
, получим
, sin cos .
22
u x x x
4Б2. Струна, закрепленная на концах
0x
и
,xl
имеет в начальный
момент форму параболы
2
4h
u x l x
l
(рис.3.1). Определить смещение
точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.
Рис.3.1
Здесь
2
4
, 0.
h
x x l x x
l
Найдем коэффициенты ряда,
определяющего решение уравнения колебания струны:
2
3
00
28
sin sin ;
ll
k
k h k x
a x xdx lx x dx
l l l
l
0.
k
b
Для нахождения коэффициента
k
a
дважды проинтегрируем по частям:
2
1 1 1 1
, sin , 2 , cos ,
k x l k x
u lx x dv dx du l x dx v
l k l
2
32
0
0
88
cos 2 cos ,
l
l
k
h l k x h k x
a lx x l x dx
k l l
l k l
т.е.
2
0
8
2 cos ,
l
k
h k x
a l x dx
l
kl
2 2 2 2
2 , cos , 2 , sin ,
k x l k x
u l x dv dx du dx v
l k l
2 2 2 2
0
0
8 16
2 sin sin
l
l
k
h k x h k x
a l x dx
ll
k l k l
3 3 3 3 3 3
0
16 16 16
cos cos 1 1 1 .
l
k
h k x h h
k
l
k k k
Подставляя выражения для
k
a
и
k
b
в равенство (3.7), получим
u
x
0
l
𝑙
2
h
33
1
16
, 1 1 cos sin .
k
k
h k at k x
u x t
ll
k
Если
2,kn
то
1 1 0,
k
а если
2 1,kn
то
1 1 2;
k
поэтому
окончательно имеем
33
0
2 1 2 1
32 1
, cos sin
21
n
n at n x
h
u x t
ll
n
.
Задания для самостоятельной работы
4А3. Найти решение уравнения
22
22
uu
tx
при начальных условиях
а)
sin
,0
x
ux
x
,
,0 0.
u
x
t
Ответ:
2 2 2
sin cos cos sin
,.
x x at at x at
u x t
x a t
б)
sin
,0
x
ux
x
,
2
,0
1
ux
x
t
x
.
Ответ:
2
2 2 2 2
1
sin cos cos sin 1
, ln
4
1
x at
x x at at x at
u x t
a
x a t
x at
.
в)
2
,0
1
x
ux
x
,
,0 sin .
u
xx
t
Ответ:
22
1
, sin sin .
2
11
x t x t
u x t x t
x t x t
г)
2
,0
1
x
ux
x
,
,0 cos .
u
xx
t
Ответ:
22
1 1 1
, sin cos .
2
11
u x t x t
x t x t
д)
2
,0 ,
x
u x e
2
,0
1
ux
x
t
x
.
Ответ:
22
2
2
1
1
, ch2 ln
4
1
xt
xt
u x t e xt
a
xt
.
4Б4. Дана струна, закрепленная на концах
0x
и
xl
. Пусть в
начальный момент форма струны имеет вид ломаной
OAB
, изображенной
на рис. 3.2. Найти форму струны для любого момента времени
t
, если
начальные скорости отсутствуют.
Рис. 3.2
Ответ:
22
1
81
, sin sin cos .
2
k
h k k x k at
u x t
ll
k
4Б5. Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках
0x
и
,xl
равны нулю, а начальная скорость выражается формулой
0
const при ,
22
0 при .
22
lh
vx
u
t
lh
x
Определить форму струны для любого момента времени
.t
Ответ:
0
22
1
41
, sin sin sin sin
22
k
v l k k h k at k x
u x t
l l l
ak
.
4Б6. Струна закреплена на концах
0x
и
3.x
В начальный момент
форма струны имеет вид ломаной
,OAB
где
0;0 ,O
2; 0,1 ,A
3;0B
(см.
рис.3.3) .
Найти форму струны для любого момента времени
,t
если начальные
скорости точек струны отсутствуют.
B
u
x
0
l
𝑙
2
h
A
Рис. 3.3
Ответ:
22
1
9 1 2
, sin sin cos
3 3 3
10
k
k k x k at
u x t
k
.
4Б7. Струна, закрепленная в точках
0x
и
1,x
в начальный момент
скорости имеет форму
43
2.u h x x x
Найти форму струны для
любого момента времени
,t
если начальные скорости точек струны
отсутствуют.
Ответ:
55
0
96 1
, sin 2 1 cos 2 1 .
21
k
h
u x t k x k at
k
4Б8. Струна закреплена в точках
0x
и
.xl
Начальные отклонения
точек струны равны нулю, а начальная скорость выражается формулой
0
2
cos при ,
22
0 при .
22
t
l
x
lh
x
u
h
t
lh
x
Найти форму струны для любого момента времени
t
.
Ответ:
2
2 2 2 2 2
1
sin cos
41
2
, sin cos
k
k k h
hl k x k at
l
u x t
ll
a k l k h
.
4А+Б9. Найти отклонение
,u x t
от положения равновесия
закрепленной на концах
0x
и
xl
однородной струны, если в
u
x
0
B
A
начальный момент струна имела форму
13
sin
8
x
l
, а начальные скорости
отсутствовали.
Ответ:
1 3 3
, cos sin .
8
at
u x t x
ll
4А+Б10. Найти отклонение
,u x t
от положения равновесия
закрепленной на концах
0x
и
xl
однородной горизонтальной струны,
если в начальный момент точки струны находились в положении
равновесия и ей была придана начальная скорость
15
sin
3
x
l
.
1 5 5
, sin sin .
15
at
u x t x
a l l
4Б11. Найти колебания закрепленной на концах
0x
и
xl
однородной струны, находящейся в положении равновесия, если в
начальный момент времени ударом молоточка в точке
3
l
x
ей сообщается
постоянная скорость
0
0
при ,
32
0 при ,
32
t
l
vx
h
u
t
l
x
h
где
h
– ширина молоточка.
Ответ:
2
0
22
1
41
, sin sin sin sin
32
k
v l k k k at k x
u x t
lh l l
ak
.
